20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（山东.理）含详解.doc

1、绝密启用前 试卷类型：B2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（共60分）一

2、、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.（1） 已知全集，集合，则（A） (B) (C) (D) 【答案】C【解析】因为集合,全集，所以.【命题意图】本题考查集合的补集运算,以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题. (2) 已知，其中为虚数单位，则(A) (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1.另解：由得，则.故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。 (3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平

3、面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。（4）设为定义在上的奇函数，当时， (为常数)，则(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)【答案】D【解析】由为定义在上的奇函数可知，于是，故选D.(5)已知随机变量服从正态分布,若，则(A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977【答案】C【解析】由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，而，则，故，故选C（6）样本中共有5个个体，其值分别为

4、.若该样本的平均值为1，则样本方差为（A） (B) (C) (D)【答案】D【解析】由题意知，解得，故样本方差为,故选D.【命题意图】本题考查样本平均数、方差的计算，属于基础题. (7)由曲线围成的封闭图形面积为（A）(B) (C) (D) 【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种【答案】B【解析】分两类

5、：一类为甲排在第一位共有种，另一类甲排在第二位共有种，故编排方案共有种，故选B.【命题意图】本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理.(9)设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的(A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，设数列的公比为, 得，则，数列为递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比所以，即，故“”是数列是递增数列的充分必要条件.【命题意图】本题主要考查等比数列以及充分必要条件的相关知识，属于基础题.(10)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值分别为(A) (B) (C) (D)【答案】

6、A【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线平移到点（5，3）时，目标函数取得最大值3；当直线平移到点（3，5）时，目标函数取得最小值-11，故选A。【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键。 (11)函数y=2x -的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 (12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，令，下面说法错误的是（ ）A.若与

7、共线，则 B. C.对任意的，有 D. 【答案】B【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 【答案】【解析】当x=10时，y=，此时|y-x|=6；当x=4时，y=，此时|y-x|=3；当x=1时，y=，此时|y-x|=；当x=时，y=，此时|y-x|=，故输出y的值为。【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。（14）若对任意，则

8、实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为，所以（当且仅当时等号成立），则，即的最大值为，故.【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值等知识，属于中档题.(15)在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为 .【答案】【解析】由得，即，因，所以.又因为由正弦定理得，解得，而则,故.【命题意图】本题考查三角恒等变换，以及正弦定理、解三角形等知识，属于中档题.(16)已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 .【答案】【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以

9、，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)已知函数，其图象过点.()求的值；（）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】()因为，所以又函数图象过点，所以，即，而，所以.()由函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象可知因为，所以，故所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和.另解：，令，解

10、得，故函数在区间上的最大值和最小值分别为和.【命题意图】本题考查三角函数诱导公式、三角基本公式、三角函数最值以及图象变换等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=()，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD

11、，ACED，AEBC， ABC=45，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【解析】（）证明：因为ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因为，所以平面PCD平面PAC；（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又ABCD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以

12、，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；另解：（）因为为等腰三角形，所以又 ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.由平面，在中，所以.故边上的高为2，即点到平面的距离，即点点到平面的距离为2.设直线与平面所成的角为，则，又，所以.（）由（）知两两互相垂直，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由为等腰直角三角形，所以,而，则因为,所以四边形是直角梯形.因为,所以,故，所以.因此,设是平面的一个法向量，则,解得.取，得，而.设表示向量与平面的法向量所成的角，则因此直线PB与平面PCD所成角的大小为；（）由（）知，所以，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以

13、四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为=。【命题意图】本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力.(20)（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；每位参加者按顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回

14、答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（）求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题的个数，求的分布列和数学期望.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互对立事件、对立事件、对立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力.解析：设分别是第一、二、三、四个问题，用表示甲同学第个问题回答正确，用表示第个问题回答错误，则与是对立事件.由题意得，则.（）记“甲同学能进入下一轮”为事件,则由于每题答题结果相互独立，因此()由题意可知随机变量可能的取值为2,3,4,.由于每题的答题结构都是相对独立的，所以,因此随机变量的分布列为123P所以.（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长