1、第11讲 数列的求和本节主要内容有Sn与an的关系;两个常用方法:倒写与错项;各种求和:平方和、立方和、倒数和等;符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法,数列求和的方法主要有:倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等1.重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)22.数列an前n 项和Sn与通项an的关系式:an=3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn4.裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)f(n),然后累加时抵消中
2、间的许多项应掌握以下常见的裂项:5.错项相消法6.并项求和法A类例题例1 已知数列an的通项公式满足:n为奇数时,an=6n5 ,n为偶数时,an=4 n ,求sn.分析 数列an的前n项可分为两部分,一部分成等差数列,用等差数列求和公式;另一部分成等比数列,用等比数列求和公式。但数列总项数n的奇偶性不明,故需分类讨论.解 若n为偶数2m,则S2m=1+13+25+6(2m1)5+42+44+42m=6m25m+(42m1),Sn=. 若n为奇数2m+1时,则S2m+1=S2m+6(2m+1)5=6m2+7m+1+(42m1),Sn=.说明 如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成,常采
3、纳先局部后整体的策略,对子数列分别求和后,再合并成原数列各项的和.类似地,若一个数列的各项可拆成等差数列型与等比数列型两部分,也可采纳先局部后整体的策略.例2(2004年湖南卷类) 已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4 成等差数列(I)证明 12S3,S6,S12S6成等比数列;(II)求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n2分析 (1)对于第(l)问,可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比,然后写出12S3,S6,S12S6,并证明它们构成等比数列对于第(2)问,由于 Tn=a1+2a4+3a7+na3n2所以利用等差
4、数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题解 ()证明 由成等差数列, 得,即 变形得 所以(舍去)由 得 所以12S3,S6,S12S6成等比数列 ()解:即 得: 所以 说明 本题是课本例题:“已知Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列”的类题,是课本习题:“已知数列an是等比数列,Sn是其前 n项的和,a1,a7,a4 成等差数列,求证2 S3,S6,S12S6成等比数列”的改编 情景再现1(2000年全国高考题)设为等比数例,已知,()求数列的首项和公式;()求数列的通项公式2 (2000年全国高中数学联赛)设Sn
5、=1+2+3+n,nN,求f(n)=的最大值.B类例题例3 (2004年重庆卷) 设(1)令求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和.分析 利用已知条件找与的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.解 (1)因 故bn是公比为的等比数列,且(2)由注意到可得记数列的前n项和为Tn,则说明 本题主要考查递推数列、数列的求和,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列an的前项和Sn=2an1(n=1,2,3,L),数列bn满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3L).求数列bn的前n项和.分析 由数列an前n
6、项和Sn与通项an的关系式:an=可得an.解 由可得an+1=2an即数列an是等比数列,故an=2n1,又由ak=bk+1bk得bn=b1 +a1+ a2+ a3+ an1 =3+=所以Sn =b1+ b2+ b3+ bn=1+2+22+2n1+2n=例5 (2004年全国理工卷) 已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an +(1)n,n1.(1)写出求数列an的前3项a1,a2,a3;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对任意的整数m4,有.分析 由数列an前n 项和Sn与通项an的关系,求an,应考虑将an与an-1或 an+1其转化为的递推关系,再依此求an. 对于不等式证明
7、考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩.解 (1)当n=1时,有:S1=a1=2a1+(1) a1=1;当n=2时,有:S2=a1+a2=2a2+(1)2a2=0;当n=3时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(1)3a3=2;综上可知a1=1,a2=0,a3=2;(2)由已知得:化简得:上式可化为:故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为:.由已知得:.故( m4).说明 本题是一道典型的代数综合题,是将数列与不等式相结合,它的综合性不仅表现在知识内容的综合上,在知识网络的交汇处设计试题,更重要的是体现出在方法与能力上的综合,体现出能力要素的有机组
8、合虽然数学是一个演绎的知识系统,并且演绎推理是数学学习和研究的重要方法,但从数学的发展来看,“观察、猜测、抽象、概括、证实”是发现问题和解决问题的一个重要途径,是学生应该学习和掌握的,是数学教育不可忽视的一个方面:要求应用已知的知识和方法,分析一些情况和特点,找出已知和未知的联系,组织若干已有的规则,形成新的高级规则,尝试解决新的问题,这其中蕴含了创造性思维的意义 例6 设 an 为等差数列, bn为等比数列,且, ,又, 试求 an 的首项与公差 (2001年全国高中数学联赛)分析 题中有两个基本量 an 中的首项 a1 和公差d是需要求的,利用, ,成等比数列和给定极限可列两个方程,但需注
9、意极限存在的条件解 设所求公差为d,a1a2,d0由此得 化简得: 解得: 而,故a10 若,则 若,则 但存在,故| q |1,于是不可能 从而 所以 说明 本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识,用到方程的思想和方法,且在解题过程中要根据题意及时取舍,如由题意推出d0, a10,等,在解题中都非常重要情景再现3 设二次函数的所有整数值的个数为g(n).(1)求g(n)的表达式.(2)设(3)设的最小值.4 设函数的图象上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若,且点P的横坐标为(1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;(2)若,nN*,求Sn
10、;(3)记Tn为数列的前n项和,若对一切nN*都成立,试求a的取值范围C类例题例7 给定正整数n和正数M,对于满足条件 M的所有等差数列a1,a2,an,试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值 (1999年全国高中数学联赛试题)分析 本题属于与等差数列相关的条件最值问题,而最值的求解所运用的方法灵活多样,针对条件的理解不同,将有不同的解法解 (方法一):设公差为d, an+1=a.则S=an+1+an+2+a2n+1=,所以另一方面,由M =, 从而有且当时=,由于此时故=M,因此S=an+1+an+2+a2n+1的最大值为(方法二):三角法 由条件 M故可令,其中.故S= an+1+
11、an+2+a2n+1= 其中,因此当,时, S=an+1+an+2+a2n+1的最大值为说明 在解答过程中,要分清什么是常量,什么是变量,注意条件和结论的结构形式解法一通过配方来完成,解法二运用三角代换的方法,解法三运用二次方程根的判别式来完成,解法四则主要运用了柯西不等式本题人口宽,解法多样,对培养学生的发散思维能力很有好处例8 n 2(n4)个正数排成几行几列:a11 a12 a13 a14 a1n, a21 a22 a23 a24 a2n, a31 a32 a33 a34 a3n, an1 an2 an3 an4 an n,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等
12、,已知“a24=1, a42 , a43,求a11 +a22 +a33 + ann. (1990年全国高中数学联赛试题)分析 由于等差数列可由首项与公差惟一确定,等比数列可由首项与公比惟一确定,如果设a11=a第一行数的公差为d,第一列数的公比为q,容易算得as t=a+(t1)qs1,进而由已知条件,建立方程组,求出n,d,q解 设第一行数列公差为d,各列数列公比为q,则第四行数列公差是dq2.于是可得方程组:,解此方程值组,得.由于所给n2个数都是正数,故必有q0,从而有.故对任意1kn,有.故S=+.又S=+.两式相减后可得: S=+所以S=2. 说明 这道试题涉及到等差数列、等比数列、
13、数列求和的有关知识和方法通过建立方程组确定数列的通项;通项确定后,再选择错位相减的方法进行求和情景再现5各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有 项6己知数列an满足:a1=1,an+1=an+(1)求证:14 a100 18;(2)求a100的整数部分a100.习题11A类习题1.若等差数列an,bn的前n项和分别为An,Bn,且,则等于 ( )A B C D 2.各项均为实数的等比数列an前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于 ( )A.150 B.200 C.150或200 D.400或50 (1998年全国高中数学联赛试题)3.已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是 ( ) (1999年全国高中数学联赛试题)4.(2004年江苏卷)设无穷等差数列an的前n项和为Sn()若首项,公差,求满足的正整数k;