东北师范大学线性代数高起专离线考核.doc

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离线考核线性代数(高起专)满分100分一、计算及证明题(每小题20分,共100分。)1. 设向量组是线性无关的,且,证明:向量组也是线性无关的。证明:设,则有整理,得因为线性无关,所以该齐次线性方程组只有零解,即,所以线性无关。2. 对于任一矩阵,证明:及都是对称矩阵。证明:因为所以及都是对称矩阵。3. 用基础解系表示线性方程组 的全部解。解:对方程组的增广矩阵施以初等行变换,有所以方程组有无穷多解,其一般解为令,得特解,其导出组的一般解为令,得,则原方程组的全部解为,为任意常数。4. 给定向量组,求:(1)向量组的秩;(2)向量组的一个极大无关组;(3)将其余向量用极大无关组线性表示。解:,则向量组的秩为3,为极大无关组,。5. 给定矩阵,如果能与对角矩阵相似,请求出相似对角矩阵及可逆矩阵。解:,所以的全部特征值为,对于,解齐次线性方程组,其基础解系为。对于,解齐次线性方程组,其基础解系为。对于,解齐次线性方程组,其基础解系为。,满足,。

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